从线性方程组到空间结构

解二元一次方程组这件事，你从初中做到高中：两条直线，求交点.可同一个消元法，结局有三种.有时算出一个解；有时算到 0 = 3 这种鬼话；有时算到最后只剩一行 0 = 0.

教科书把三种结局分开讲，分别叫唯一解、无解、无穷多解.这一章要让你看到它们其实是同一件事的三张面孔，顺便把那件"事"的名字定下来.这个名字会一路跟到 Transformer 的注意力矩阵.

高中那点工具，够用到哪里

这一章的每件工具你都在高中用过，只是当时叫别的名字：

• 初中（七年级下）二元一次方程组：加减消元、代入消元——"高斯消元"的原始版本.
• 选必一 2.3.1 两条直线的交点坐标：解方程组就是求两条直线的交点；"唯一解 / 无解 / 无穷多解"就是"相交 / 平行 / 重合". 三种结局你在解析几何里全见过.
• 必修二 6.3 与选必一 1.3：平面与空间向量的坐标表示——有序数组按坐标逐个运算，是这一章"列向量"的算料.

一个高中题，两种读法. 高中做"判断两条直线位置关系"的标准动作是联立：

$$\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

消元得 $x = 1$、$y = 0$，交点是 $(1,0)$——高中到这里结束. 这一章要问的是消元背后的事：为什么有时一个解、有时一整条线、有时一个都没有？答案不在消元里，在系数矩阵的列向量能张成多大空间里. 下面两副眼镜就是干这个的.

第一副眼镜：每一行是一条直线

看一个具体的方程组：

$$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 6 \end{cases}$$

把每一行看成平面上的一条直线，解方程就是找同时落在两条线上的点.两个未知数、两个条件，条件独立时交于一点；两线平行时没有交点；两线重合时整条线都是解.

平行的代数信号藏在系数里：第二行的系数恰好是第一行的两倍.对一般的方程组

$$\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{cases}$$

两个方程何时会退化（两行成比例，或其中一行全是零）？把两组系数放在一起比较，判据是

$$a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = 0.$$

这个由四个系数按固定顺序算出来的数太重要了，值得一个定义.

定义（二阶行列式） 设 $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \in \mathbb{R}$，称

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$

为以这些数为元素的二阶行列式.

行列式等于零，方程组就失去了"唯一"的资格——要么无解，要么无穷多解.至于"退化"这个词的精确含义，下一章用线性相关的语言给出.

第二副眼镜：每一列是一个向量

同一个方程组，把系数按列拆开：

$$x\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$$

这里的竖排括号对你来说是新的写法.它和高中写的有序数组 $(a_{11}, a_{21})$ 是同一个对象：同样是两个数、有顺序、按坐标逐个运算.换成竖排只有一个理由——后面矩阵要作用在它上面，而矩阵乘法是"一行碰一列"，列是唯一顺手的形状.

读法是：从两个列向量出发，各乘一个系数再相加，问能不能凑出右边的 $\mathbf{b}$.这种"乘系数再相加"的操作叫线性组合.

两副眼镜看的是同一个对象，但第二副把"求解"改写成了"覆盖".两个列向量能张开多大一片地方？张开整个平面时，任何 $\mathbf{b}$ 都有唯一配方；退化成一条直线时，只有恰好落在这条线上的 $\mathbf{b}$ 才有解.

行列式在这副眼镜里有了几何身份：它是两个列向量张成的平行四边形的有向面积.面积为零，两列共线，张不成平面.

例题（教材风格）. 判断直线 $l_1: 2x + y = 4$ 与 $l_2: x - y = 1$ 的位置关系，有交点就求出来.

解（高中）. 联立消元：两式相加得 $3x = 5$，$x = \frac53$；代回得 $y = \frac23$. 交点是 $(\frac53, \frac23)$.

线代读法. 系数行列式 $\det\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = -3 \ne 0$，所以有唯一解——"相交"就是"$\det \ne 0$". 列视角再读一遍：问题等价于找 $x, y$ 使

$$x\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix},$$

$\det \ne 0$ 说明两个列向量不共线、能张成整个平面，任何右端项都有唯一配方.

矩阵是变换，不是记账本

先把名字定下来.

定义（矩阵） 把 $mn$ 个数排成 $m$ 行、$n$ 列的矩形阵列，就得到一个 $m \times n$ 矩阵.$a_{ij}$ 记第 $i$ 行第 $j$ 列的元素；一行叫行向量，一列叫列向量.

说"矩阵"时，指的是这组按行列编号的数，方括号只是排版方式.

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$$

高中你跟一维的有序数组打了两年交道，矩阵是把它们摞起来之后的二维对象.前面那个方程组的系数按原位置抄下来，就是一个 $2 \times 2$ 矩阵；右端项竖起来是列向量 $\mathbf{b}$，未知数 $(x, y)$ 竖起来是列向量 $\mathbf{x}$.于是整个方程组可以写成一行：

$$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$$

到这里可以换一个更狠的问法：与其问"哪些 $\mathbf{b}$ 有解"，不如问"$A$ 对平面做了什么".

$A$ 是一套操作：给任意向量 $\mathbf{v}$，输出 $A\mathbf{v}$.于是解方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 变成追踪题——哪个 $\mathbf{x}$ 被这套操作送到了 $\mathbf{b}$？

• 如果 $A$ 把平面均匀拉扯（面积不为零），每个 $\mathbf{b}$ 都有唯一的前身；
• 如果 $A$ 把整个平面压成一条线（面积为零），线上的 $\mathbf{b}$ 有无穷多个前身，线外的 $\mathbf{b}$ 一个都没有.

无解和无穷多解，在这里是同一件事的两面.行列式也不再是算出来的一个数，而是面积的膨胀率.

拿一个具体的 $A$ 追踪一遍. 设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$，算三个值：

$$A\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \qquad A\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}, \qquad A\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = (x + 2y)\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}.$$

最后一式说明：整个平面都被拍到了直线 $y = 2x$ 上. 所以 $(1,2)$ 的前身不止一个——$(1,0)$ 和 $(0,\frac12)$ 都被它接住（无穷多前身）；而直线外的 $(1,1)$ 永远等不到前身（无解）. 高中说的"平行、重合"，到这里统一成了"$A$ 把平面压成了几维".

实验：拖动基向量

下面的实验把刚才的话变成可以上手的操作.三条引导线：

1. 点「单位」，网格保持原样；点「旋转 45°」，网格整体转起来，det 仍是 1——旋转不改变面积.
2. 把 ĵ 的端点拖到 î 所在的直线上，det 会趋向 0，平面被压扁.此时「投影」按钮展示的就是这种病态：两个列向量一模一样.
3. 拖出负的 det（比如把 ĵ 拖到 î 的另一侧），观察单位正方形翻面——有向面积是负的.

实验 01

二维线性变换

det1.00

面积 ×1.00

状态可逆

$A=\begin{bmatrix} 1.0 & 0.0 \\ 0.0 & 1.0 \end{bmatrix}$

a₁₁ = 1.0

î 的 x 分量

a₁₂ = 0.0

ĵ 的 x 分量

a₂₁ = 0.0

î 的 y 分量

a₂₂ = 1.0

ĵ 的 y 分量

可逆：平面被均匀拉扯，面积缩放 1.00 倍，任何目标向量都有唯一来源.

拖动 î、ĵ 的端点，或者用左侧滑块改矩阵.虚线的单位正方形被映成实线平行四边形，它的有向面积就是 det.

交叉

• 矩阵分析：SVD 把任意矩阵拆成"旋转、拉伸、旋转"三步，是这一章"变换"视角的延伸.
• 机器学习：梯度下降里，函数在某点附近的线性近似就是一个矩阵（Jacobian），它决定这一步往哪走、走多快.
• 体系结构：矩阵乘法是变换的复合，而 GEMM 优化研究的正是让这种复合在硬件上跑得更快.

习题

1. 先算行列式，再判断下列方程组的解：唯一解、无解、还是无穷多解？ (a) $x + y = 2,\ 3x + 3y = 6$； (b) $x + y = 2,\ 3x + 3y = 5$； (c) $x + 2y = 1,\ 3x + 4y = 2$.
2. 矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ 把单位正方形映成什么图形？面积是多少？$\det A$ 是多少？
3. 找一个 $2 \times 2$ 矩阵，它把两个不同的向量映到同一个向量；再用"面积"的语言解释，为什么这样的矩阵一定是奇异的.
4. 矩阵 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 的行列式是多少？它在几何上对平面做了什么？

参考答案

1. (a) $\det = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 0$，两行成比例且右端也成比例（第二行恰好是第一行的 3 倍），两条直线重合，无穷多解. (b) $\det = 0$，但右端不成比例，两条直线平行不重合，无解. (c) $\det = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2 \ne 0$，唯一解.

2. 单位正方形被拉成 $2 \times 3$ 的矩形（两条边分别沿坐标轴伸缩），面积 $6$；$\det A = 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0 = 6$，正好等于面积.这就是"行列式是面积缩放率"的一例.

3. 例如 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$：$(1, 1)$ 和 $(1, 2)$ 都被映到 $(1, 0)$.它的 $\det = 0$，把整个平面压到 $x$ 轴上，面积为 $0$；面积都压没了，不同的点自然可以重叠.

4. $\det = 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1$.它交换两个坐标，几何上是沿直线 $y = x$ 的翻折：面积大小不变（$|\det| = 1$），但平面翻了面，方向反转，所以行列式取负.

延伸

下一章《向量空间、基与维数》会把这一章的直觉说精确：什么叫"张成"，什么叫"维数".想先看视频的话，3Blue1Brown 的线性代数系列和 Gilbert Strang 的 18.06 是两套经典材料，前者重几何直觉，后者重计算与证明.