向量空间、基与维数

上一章结尾留下一个没兑现的说法：两个列向量"能不能张成整个平面".这话当时靠直觉撑着，现在要把它拆成四个精确的词——张成、线性无关、基、维数.

拆完你会得到一个不太舒服的结论：坐标不是向量的属性.同一个箭头，换一组基，坐标就全变了.

高中那点工具，够用到哪里

这一章的核心对象，教材已经给过你了——而且比你想的更近：

• 必修二 6.3.1 平面向量基本定理：平面上两个不共线的向量 $\mathbf{e}_1$、$\mathbf{e}_2$ 叫一组"基底"，平面内任一向量 $\mathbf{a}$ 都能写成 $\mathbf{a} = \lambda_1\mathbf{e}_1 + \lambda_2\mathbf{e}_2$，而且这对实数唯一. 把"基底"换成"基"、"系数"换成"坐标"，就是这个定理的逐字翻译.
• 必修二 6.3.2 正交分解及坐标表示：基底取成互相垂直的 $\mathbf{e}_1 = (1,0)$、$\mathbf{e}_2 = (0,1)$，分解式就变成你天天写的 $(x, y)$——教材里的坐标，是"标准基下的坐标"，只是默认到不写基底.
• 选必一 1.2 空间向量基本定理：同一件事在空间里——三个不共面的向量当基底，任意空间向量有唯一分解. 二维、三维的"基本定理"，到 $n$ 维就是这一章的"基与坐标".

一个教材场景，两种读法. 平行四边形 $ABCD$，高中常用"以 $\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\}$ 为基底"表示其它向量：对角线

$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}, \qquad \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.$$

换成线代语言：$\overrightarrow{AC}$ 在这组基下的坐标是 $(1,1)$，$\overrightarrow{BD}$ 是 $(-1,1)$. 现在反过来，用 $\{\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}\}$ 当基表示 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$：

$$\overrightarrow{AB} = \tfrac12\overrightarrow{AC} - \tfrac12\overrightarrow{BD}, \qquad \overrightarrow{AD} = \tfrac12\overrightarrow{AC} + \tfrac12\overrightarrow{BD}.$$

同一个 $\overrightarrow{AB}$，前一组基下坐标是 $(1,0)$，后一组基下坐标是 $(\tfrac12, -\tfrac12)$——向量没动，坐标全变了. 这就是开头那句"坐标不是向量的属性"的高中版本；这一章把它说清楚.

本章的舞台

先把要用的东西定义下来.

定义（$n$ 维坐标空间） 记

$$\mathbb{R}^n = \{(x_1, \dots, x_n) \mid x_i \in \mathbb{R}\},$$

加法与数乘按分量定义：

$$(x_1,\dots,x_n) + (y_1,\dots,y_n) = (x_1+y_1, \dots, x_n+y_n), \qquad a(x_1,\dots,x_n) = (a x_1, \dots, a x_n).$$

$n = 2$ 就是平面，$n = 3$ 就是空间.高中写的 $(x, y)$ 就是 $\mathbb{R}^2$ 里的元素，只是教材没起这个名字.

$\mathbb{R}^n$ 只是一个例子.凡是"能加、能按实数伸缩、并且满足加法交换结合、有零元、有负元、数乘与加法相容"这些常识规律的集合，都叫向量空间.精确的公理写在下面，现在不看完全不影响本章；等以后遇到函数空间、矩阵空间时再回来对一遍.

向量空间的公理（选读）

设集合 $V$ 上定义了加法 $+: V \times V \to V$ 与数乘 $\cdot: \mathbb{R} \times V \to V$.若对任意 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ 与 $a, b \in \mathbb{R}$：

1. $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$；
2. $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$；
3. 存在零向量 $\mathbf{0}$，使 $\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$；
4. 每个 $\mathbf{v}$ 有相反向量 $-\mathbf{v}$，使 $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$；
5. $a(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = a\mathbf{v} + a\mathbf{w}$；
6. $(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}$；
7. $a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}$；
8. $1\mathbf{v} = \mathbf{v}$，

就称 $V$ 是 $\mathbb{R}$ 上的向量空间.前四条说 $V$ 的加法是一个交换群，后四条说数乘与加法的配合没问题.

还有一个词后面会反复用：

定义（子空间） $V$ 的子集 $W$ 若对加法和数乘都封闭（$W$ 里两个向量相加仍在 $W$ 里，$W$ 里的向量乘实数仍在 $W$ 里），就称 $W$ 是 $V$ 的子空间.

直线 $y = x$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的子空间：线上两个向量相加仍在线上，伸缩也仍在线上.而直线 $y = x + 1$ 不是——它甚至不含原点，加两个点会跑到 $y = x + 2$ 上去.

四个词

下面四个定义都只涉及有限个向量.本章只聊"有限个向量够用"的空间.

张成：能拼出什么

定义（张成） 对向量 $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$，它们的张成是全部线性组合：

$$\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\} = \{\lambda_1\mathbf{v}_1 + \dots + \lambda_k\mathbf{v}_k \mid \lambda_1, \dots, \lambda_k \in \mathbb{R}\}.$$

人话版：把这些向量任意乘系数再相加，所有可能的结果凑成一个集合，就是这个张成.它是包含这组向量的最小集合，还自动对加法与数乘封闭.

• $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$ 的张成是整个平面；
• $((1,0), (2,0))$ 的张成只有 $x$ 轴——两个向量指向同一条线，怎么组合都出不了这条线.

线性无关：有没有多余

定义（线性无关） 若 $\lambda_1\mathbf{v}_1 + \dots + \lambda_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}$ 只能靠把所有系数取成 $0$ 来实现，就称 $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$ 线性无关；否则称它们线性相关.

人话版：无关 = 这组向量里没有一个是多余的、能被别人拼出来的.相关则是有人吃白饭.

• $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$ 无关：设 $a\mathbf{e}_1 + b\mathbf{e}_2 = \mathbf{0}$，按分量拆开立刻得到 $a = b = 0$；
• $((1,0), (2,0))$ 相关：$-2(1,0) + (2,0) = \mathbf{0}$，系数 $-2$ 和 $1$ 没有全取零，也拼出了零；
• 只要一组向量里有零向量，它必然相关：给零向量配系数 $1$、其余配 $0$ 就行.

基：刚刚好的一组

定义（基） 若 $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n$ 既线性无关，又满足 $\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\} = V$， 就称它们是 $V$ 的一组基.

人话版：不多不少.无关保证"不多"，张成保证"不少".

$\mathbb{R}^2$ 里随便两条不共线的向量都是一组基；$\mathbb{R}^2$ 里任意三个向量一定相关（平面上塞不下三个独立方向）.第二章的实验就是让你拖着向量自己验证这件事.

维数：基的规模

基的选择可能不止一组，但规模是固定的：

定理（基的个数不变） 若 $V$ 有一组由 $n$ 个向量组成的基，那么 $V$ 的每一组基都恰好有 $n$ 个向量.

为什么不会出现"一组基 2 个、另一组基 3 个"？证明的核心是一个替换论证，展开可见.

为什么（证明思路）

先证一个引理：设 $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n$ 张成 $V$，且 $\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_m$ 线性无关，则 $m \le n$.

做法是从 $(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n)$ 出发，依次把 $\mathbf{v}$ 换成 $\mathbf{w}$：先看 $\mathbf{w}_1$，它可由当前张成组组合出来；因为 $\mathbf{w}_1 \ne \mathbf{0}$，这个组合里至少有一个 $\mathbf{v}$ 的系数不为零，解出那个 $\mathbf{v}$，就知道它能被 $\mathbf{w}_1$ 和其余的 $\mathbf{v}$ 拼出来.换成 $\mathbf{w}_1$ 之后，剩下的向量仍然张成 $V$.对 $\mathbf{w}_2, \dots$ 重复同样的操作：每一步都能换掉一个 $\mathbf{v}$，且保持"张成 $V$".

如果 $m > n$，换完 $n$ 步之后组里全是 $\mathbf{w}$，说明 $\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n$ 就张成了 $V$.于是 $\mathbf{w}_{n+1}$ 能被它们拼出来，前面那 $n+1$ 个 $\mathbf{w}$ 就线性相关了，与假设矛盾.所以 $m \le n$.

现在看两组基 $(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n)$ 与 $(\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_m)$.第一组张成、第二组无关，引理给 $m \le n$；交换角色又给 $n \le m$.两边一夹，$m = n$.

定义（维数） 由上面的定理，"一组基里向量的个数"与基的选择无关.这个公共的个数叫 $V$ 的维数，记作 $\dim V$.

$\dim \mathbb{R}^2 = 2$，$\dim \mathbb{R}^n = n$.维数是空间的属性，不是某一组基的属性.

坐标是借来的

有了基，坐标才可以定义.

定义（坐标） 固定 $V$ 的一组基 $(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n)$.把满足

$$\mathbf{w} = c_1\mathbf{v}_1 + \dots + c_n\mathbf{v}_n$$

的那组系数 $(c_1, \dots, c_n)$ 叫 $\mathbf{w}$ 在这组基下的坐标.

这句话里藏着一个约定：这样的系数有且只有一组.存在性由张成保证，唯一性由无关保证——若 $\sum c_i\mathbf{v}_i = \sum c_i'\mathbf{v}_i$，相减得 $\sum (c_i - c_i')\mathbf{v}_i = \mathbf{0}$，由无关推出每个 $c_i = c_i'$.

看一个反直觉的例子.取 $\mathbf{w} = (2, 1)$：

• 在标准基 $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$ 下，$\mathbf{w} = 2\mathbf{e}_1 + 1\mathbf{e}_2$，坐标是 $(2, 1)$；
• 在斜基 $\mathbf{v}_1 = (1, 0)$、$\mathbf{v}_2 = (0.6, 1)$ 下，解 $c_1(1, 0) + c_2(0.6, 1) = (2, 1)$，得 $c_2 = 1$、$c_1 = 1.4$，坐标是 $(1.4, 1)$.

同一个向量，两组坐标.坐标系不是世界的一部分，是我们装上去的.

例题（教材风格）. 已知 $\mathbf{e}_1$、$\mathbf{e}_2$ 是一组基底，$\mathbf{a} = 2\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2$，$\mathbf{b} = -\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2$. 用 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 表示 $\mathbf{e}_1$.

解（高中）. 设 $\mathbf{e}_1 = \alpha\mathbf{a} + \beta\mathbf{b}$，展开：

$$\alpha(2\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2) + \beta(-\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2) = (2\alpha - \beta)\mathbf{e}_1 + (\alpha + 3\beta)\mathbf{e}_2.$$

因为 $\mathbf{e}_1$、$\mathbf{e}_2$ 线性无关（它们是基底），比较系数得 $2\alpha - \beta = 1$、$\alpha + 3\beta = 0$，解得 $\alpha = \frac37$、$\beta = -\frac17$. 所以

$$\mathbf{e}_1 = \frac37\mathbf{a} - \frac17\mathbf{b}.$$

线代读法. 这就是"换基"的手算版：两组基底之间的坐标换算，本质是解一个 $2 \times 2$ 方程组. 高中课本里"用一组基底表示向量"和这一章的"坐标"，是同一件事的两个名字.

实验：拖出你自己的基

实验里有两个可拖的向量 $\mathbf{v}_1$、$\mathbf{v}_2$，一个可拖的目标 $\mathbf{w}$，还有一组实时读数.

1. 默认是标准基.拖动 $\mathbf{w}$，右侧坐标跟着变，虚线折线给出配方：先走 $c_1$ 步 $\mathbf{v}_1$，再走 $c_2$ 步 $\mathbf{v}_2$.
2. 点「斜基」再拖 $\mathbf{w}$.同一个位置，坐标不一样了，但"两个数"照样唯一.
3. 点「共线」，或者手动把 $\mathbf{v}_2$ 拖到 $\mathbf{v}_1$ 的直线上：张成塌成一条线，读数里的维数变成 1，目标只要离开这条线就没有坐标.
4. 点「冗余」加上第三个向量：它能被前两个拼出来，整组立刻线性相关，不再是基.

实验 02

张成、无关与基

张成平面

无关是

基是

维数2

目标 w 在这组向量下的坐标

坐标1.500.80

这是一组基：平面上每个向量都能被唯一地写成 c₁v₁ + c₂v₂.拖动目标 w，看它的坐标怎么跟着变.

拖动 v₁、v₂、w 的端点.虚线网格是 v₁ 与 v₂ 张成的格点，虚线折线是 w 的配方：先走 c₁ 步 v₁，再走 c₂ 步 v₂.

交叉

• 矩阵分析：SVD 给出每个方向上拉伸的倍数，和本章的"张成"与"维数"直接相关.
• 机器学习：Transformer 的每个注意力头在自己的子空间里做加权，多头就是把几个低维子空间的张成并起来用.
• 机器学习：词嵌入的 512 维不是任意选的——它是一组基的规模，决定了模型能区分多少种方向上的差异.

高维空间：把 n 当数字用

科幻作品里的"高维"多半指时空的额外维度，那是物理假说.数学里的高维只有一个意思：坐标多几个.$\mathbb{R}^{512}$ 就是一个点需要 512 个数，词嵌入说的"512 维"就是这么回事，没有多出来的神秘方向.

前面所有结论原样成立，因为证明里从来没有用过 $2$ 这个数字本身，用的只是"$n$ 个向量张成、$m$ 个向量无关"这样的句子：

• $\mathbb{R}^n$ 里任意 $n+1$ 个向量一定线性相关（把习题 2 证明里那句"张成整个 $\mathbb{R}^2$"换成"张成 $\mathbb{R}^n$"即可）；
• 坐标的存在唯一性对任何 $n$ 一样成立.

高维听起来玄，是因为二维直觉在那里失效.失效不是神秘，只是不习惯.两个能亲手算的例子：

• 单位立方体 $[0,1]^n$ 的体对角线长度是 $\sqrt{n}$.$n = 512$ 时约 22.6，而每条棱仍然只是 1.
• 立方体的内接球（半径 $1/2$）体积占比随维度指数衰减：$n=2$ 时 78.5%，$n=3$ 时 52.4%，$n=10$ 时 0.25%，再往后小到可以忽略.高维立方体的体积几乎全贴在边界上，中心那颗球占不到地方.

下面的实验把这两个数做成可以拖动的读数.

实验 03

高维里剩下什么

维数3

体对角线1.73

内接球占比52.4%

维数 n = 3

78.5%

n=2

52.4%

n=3

30.8%

n=4

2.5e-3

n=10

1.5e-28

n=50

1.6e-534

n=512

单位立方体 [0,1]^n 的体积恒为 1，内接球半径固定 1/2，占比 $\dfrac{\pi^{n/2}}{2^n\,\Gamma(n/2+1)}$ 随维度指数衰减.柱子越高表示占比越小（纵轴做过对数压缩，否则 n≥10 的柱子会彻底看不见）.

体对角线长度是 √n：n=512 时约 22.6，而每条棱仍然只是 1.高维立方体"很空旷"与"体积几乎全贴在边界"，是同一个计算的两面.

结论只有一句：高维里没有"看不见的第四个方向".方向就是向量，"看得见"不是数学的要求；凡是能在二维验证的命题，换成 $n$ 个坐标照样成立.

习题

1. 判断下列向量组是否线性无关，并写出它们的张成： (a) $(1, 2)$、$(3, 4)$，在 $\mathbb{R}^2$ 中； (b) $(1, 2)$、$(2, 4)$； (c) $(1, 0, 0)$、$(0, 1, 0)$、$(1, 1, 0)$，在 $\mathbb{R}^3$ 中.
2. 证明：$\mathbb{R}^2$ 中任意三个向量一定线性相关.
3. 第一象限 $W = \{(x, y) \mid x \ge 0,\ y \ge 0\}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的子空间吗？逐条检查子空间的两个条件.
4. 把 $\mathbf{w} = (4, 3)$ 写成 $\mathbf{v}_1 = (1, 1)$、$\mathbf{v}_2 = (1, -1)$ 的线性组合，并给出 $\mathbf{w}$ 在这组基下的坐标.
5. 判断真假并说明理由： (a) 张成一定包含零向量； (b) 线性无关的向量组一定不含零向量； (c) 线性相关的向量组去掉一个向量后，一定仍然线性相关.
6. 在 $\mathbb{R}^4$ 中判断 $(1,0,0,0)$、$(0,1,0,0)$、$(1,1,0,0)$ 是否线性无关，并写出它们的张成.
7. 在 $\mathbb{R}^4$ 中，$(3,-1,0,0)$ 与 $(0,0,1,0)$ 能否写成 $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,0)$、$\mathbf{e}_2 = (0,1,0,0)$ 的线性组合？
8. 单位立方体 $[0,1]^n$ 的体对角线长度在 $n = 4$、$9$、$512$ 时分别是多少？

参考答案

1. (a) 无关：$1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2 \ne 0$，两条不共线，张成整个 $\mathbb{R}^2$，构成一组基. (b) 相关：$(2, 4) = 2(1, 2)$，张成是直线 $y = 2x$. (c) 相关：$(1, 1, 0) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0)$，张成是 $xy$ 平面，维数 2.

2. 设三个向量为 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3$.若 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ 已经相关，则这三个也相关（把 $\mathbf{v}_3$ 的系数取 $0$，仍然凑出系数不全为零的零组合）.若 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ 无关，它们张成整个 $\mathbb{R}^2$，于是 $\mathbf{v}_3 = c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2$，移项得 $c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_3 = \mathbf{0}$——三个系数里 $-1$ 不为零，所以相关.

3. 不是.加法封闭成立：两个非负坐标相加仍然非负.数乘不封闭：取 $(1, 1) \in W$ 和 $a = -1$，则 $a(1, 1) = (-1, -1) \notin W$.

4. 设 $c_1(1, 1) + c_2(1, -1) = (4, 3)$，按分量列方程：$c_1 + c_2 = 4$，$c_1 - c_2 = 3$，解得 $c_1 = 3.5$、$c_2 = 0.5$.坐标是 $(3.5, 0.5)$.

5. (a) 真：所有系数都取 $0$ 的组合就是零向量，按定义零向量属于张成. (b) 真：若组里含零向量，给它配系数 $1$、其余配 $0$，就得到系数不全为零的零组合. (c) 假：反例 $((1,0),\ (2,0),\ (0,1))$ 线性相关，但去掉 $(2,0)$ 后剩下的两个向量无关.

6. 线性相关：$(1,1,0,0) = (1,0,0,0) + (0,1,0,0)$.张成是 $\{(x, y, 0, 0) \mid x, y \in \mathbb{R}\}$，就是前两个坐标张成的平面，维数 2.

7. $(3,-1,0,0) = 3\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2$，坐标是 $(3, -1)$.$(0,0,1,0)$ 不行：$\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$ 的张成里所有向量的第三、四坐标都是 $0$，而它的第三坐标是 1.

8. 长度是 $\sqrt{n}$：$n = 4$ 时是 $2$，$n = 9$ 时是 $3$，$n = 512$ 时是 $16\sqrt{2} \approx 22.63$.

延伸

下一章《线性映射与矩阵表示》会把这一章和第一章合流：线性映射把基送到哪里，矩阵就长什么样.有了基和坐标，你才能说清楚"同一个映射在不同基下的矩阵"是什么意思.