行列式：体积与可逆性

第一章留下三笔账：$2 \times 2$ 的行列式只有面积直觉，没法算更大的矩阵；"可逆 $\iff \det \ne 0$"只在 $2 \times 2$ 上验证过；转置、乘积这些运算和行列式的关系还没说. 这一章一次结清.

核心只有一句话：行列式是体积的膨胀率，带符号.

高中那点工具，够用到哪里

行列式这个名字高中不讲，但它的算式你早就用过两次：

• 必修二 6.3.4 数乘运算的坐标表示：判断两个向量 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ 共线，用的是"十字相乘相减"：

$$x_1y_2 - x_2y_1 = 0.$$

这就是二阶行列式等于零.

• 必修二 6.4.1 平面几何中的向量方法：求三角形面积时出现过同一个式子——以原点为一个顶点、另两个顶点为 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ 的三角形，面积是 $\frac12|x_1y_2 - x_2y_1|$.

两个"$x_1y_2 - x_2y_1$"是同一件事：共线是面积为零的特例. 这一章把这一个数推广到 $n$ 维：它测量平行体体积，体积为零就是退化（共线、共面、……）. 高中见过的 $2 \times 2$ 版本，是它在二维的剪影.

从面积到体积

第一章说过：$2 \times 2$ 矩阵 $A$ 把单位正方形映成平行四边形，$\det A$ 是这个平行四边形的有向面积——绝对值是面积，符号编码定向.

$n$ 维同理：

定义（几何版行列式） $\det A$ 是 $A$ 把单位立方体 $[0,1]^n$ 映成的平行体（parallelepiped）的有向体积；定向由 $n$ 个列向量共同决定，发生"镜像"（交换两列）时变号.

几何直觉（先算三个数）.

• $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$：单位正方形被映成面积 $|\det A| = 5$ 的平行四边形；$\det A > 0$ 表示定向保持（逆时针还是逆时针）.
• 对角阵 $D = \operatorname{diag}(1, 2, 3)$（主对角线上依次是 $1, 2, 3$，其余位置全是 $0$）：单位立方体被拉成体积 $6$ 的长方体——三个方向分别拉伸 $1$、$2$、$3$ 倍，体积就是乘积.
• 若某矩阵的 $\det = -5$：面积仍是 $5$，但平面被翻了一面（比如两列交换过次序）.

问题是：这个体积怎么算？$n$ 维平行体的体积不是画出来就能读的. 出路是换一个角度——不先算，先把"体积应该满足什么性质"列出来.

例题（教材风格）. (1) 判断 $A(1,1)$、$B(2,3)$、$C(3,5)$ 三点是否共线；(2) 求三角形（顶点 $A(0,0)$、$B(4,1)$、$C(1,3)$）的面积.

解（高中）. (1) $\overrightarrow{AB} = (1,2)$，$\overrightarrow{AC} = (2,4)$，用坐标判断共线：$1 \times 4 - 2 \times 2 = 0$，三点共线. (2) $S = \frac12|4 \times 3 - 1 \times 1| = \frac12 \times 11 = 5.5$.

线代读法. 两问用的是同一个数：$x_1y_2 - x_2y_1$，即二阶行列式. 共线 $\iff$ 这个数为零 $\iff$ 两个向量张成的"平行四边形面积"为零；三角形面积则是它的一半. 高中用它判断共线、算面积，这一章用它测量 $n$ 维体积——名称从"十字相乘相减"升级为"行列式".

三条公理，唯一确定行列式

把行列式看成一个函数 $D(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n)$：喂进 $n$ 个列向量，吐出一个数.

定义（公理版行列式） 满足以下三条的函数 $D$ 叫行列式： (i) 多重线性：对每一列都线性，例如

$$D(\dots, a\mathbf{v} + b\mathbf{w}, \dots) = a\,D(\dots, \mathbf{v}, \dots) + b\,D(\dots, \mathbf{w}, \dots)$$

(ii) 交错性：交换任意两列，$D$ 变号； (iii) 归一化：$D(\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n) = 1$.

三条都有几何含义，正好对应体积的常识：

• (i) 一列伸长 $k$ 倍，平行体的体积也伸 $k$ 倍；一列拆成两个向量之和，体积分成两块——这就是"对每一列线性".
• (ii) 交换两列相当于做一次镜像，体积大小不变、定向翻转，所以变号.
• (iii) 标准立方体（列是 $\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n$）体积为 1.

三条公理可以推出全部实用性质，推导都是一两行.

两列相同则 $\det = 0$. 交换这两列，计算对象没变（矩阵还是那个矩阵），但交错性要求变号：$D = -D$，所以 $D = 0$.

有一列是零则 $\det = 0$. 取 $a = 0$ 用多重线性：$D(\dots, 0 \cdot \mathbf{v}, \dots) = 0 \cdot D(\dots, \mathbf{v}, \dots) = 0$.

一列是其他列的线性组合则 $\det = 0$. 比如第三列 $= \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2$，由多重线性拆成 $D(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1) + D(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2)$；两项都有两列相同，都是零.

倍加列不变. 把第一列换成 $\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2$：

$$D(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2, \dots) = D(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots) + D(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2, \dots) = D(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots).$$

"往一列上叠加另一列，体积不变"——这正是消元法里"一行加另一行的倍数不改变解"的几何版本.

上三角矩阵的 $\det =$ 对角线之积. 用倍加把上方元素逐个消成零（体积不变），再用多重线性把每列的对角元提出来，剩下单位矩阵.

把这几条反过来读，就是初等变换对行列式的作用表：

操作	对 det 的影响
交换两列	变号
某列乘 $k$	乘 $k$
某列加另一列的倍数	不变

存在性与唯一性（选读）

唯一性. 设 $D$ 满足三条公理. 把每一列用标准基展开：$\mathbf{v}_j = \sum_i a_{ij}\mathbf{e}_i$. 由多重线性，$D$ 等于 $n^n$ 项之和，每项形如 $a_{i_1 1}\cdots a_{i_n n} D(\mathbf{e}_{i_1}, \dots, \mathbf{e}_{i_n})$. 由交错性，只要下标 $i_1, \dots, i_n$ 有两个相同，$D = 0$；剩下的项对应排列 $\sigma$，且 $D(\mathbf{e}_{\sigma(1)}, \dots, \mathbf{e}_{\sigma(n)}) = \mathrm{sgn}(\sigma)$（把 $\sigma$ 拆成对换，每次变号），最后由归一化定值为 $\pm 1$. 于是

$$\det A = \sum_{\sigma} \mathrm{sgn}(\sigma)\, a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(n)n},$$

唯一性清空：任何满足公理的 $D$ 都被迫等于这个和.

存在性. 上式（Leibniz 公式）定义的函数确实满足三条：每一项在每列里恰出现一个因子，所以多重线性；交换两列时每个排列的符号翻转，所以交错；单位矩阵只有恒等排列一项 $\mathrm{sgn} = 1$，所以归一化. $\blacksquare$

（Leibniz 公式是定义，不是算法——$n!$ 项没法手算. 具体怎么算，是下一节的事.）

怎么算行列式：Sarrus、展开与消元

Leibniz 公式回答了"行列式是什么"，没回答"怎么算". 实际计算有三条路，按矩阵的形状与大小选.

Sarrus 法则（只限于三阶）

$3 \times 3$ 的六项正好可以摆成"三条斜线之和减三条斜线之和"：

$$\det \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \underbrace{aei + bfg + cdh}_{\text{主方向三条}} - ceg - bdi - afh.$$

（后三项来自三条副方向斜线，逐项带减号.）

操作办法：把前两列抄到矩阵右边，三条左上到右下的斜线相加，三条右上到左下的斜线逐项相减. 拿习题里的矩阵走一遍：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{bmatrix}, \qquad \begin{array}{ccc|cc} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 4 & 5 \\ 7 & 8 & 10 & 7 & 8 \end{array}$$

主方向三条相加：$1\cdot5\cdot10 + 2\cdot6\cdot7 + 3\cdot4\cdot8 = 50 + 84 + 96 = 230$； 副方向三条逐项相减：$-3\cdot5\cdot7 - 2\cdot4\cdot10 - 1\cdot6\cdot8 = -105 - 80 - 48 = -233$. 合起来 $\det A = 230 - 233 = -3$.

Sarrus 只对 $3 \times 3$ 成立，不能外推. $4 \times 4$ 的 Leibniz 和是 24 项、$5 \times 5$ 是 120 项，斜线画法失效；用三条对角线硬凑 $4 \times 4$ 一定会错. 更大的矩阵请用下面两条路.

展开法（Laplace 展开，适合零多的矩阵）

定义（余子式与代数余子式） 划掉第 $i$ 行与第 $j$ 列，剩下的小矩阵的行列式叫 $(i, j)$ 余子式，记 $M_{ij}$；乘上符号后得到代数余子式

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}.$$

定理（按行/列展开） 固定任意一行 $i$，

$$\det A = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in};$$

把行换成列同样成立.

人话：沿一行（或一列）把 $n$ 阶行列式拆成 $n$ 个 $(n-1)$ 阶行列式. 那一行里的零越多，要算的项越少.

$3 \times 3$ 按第一行展开，和 Sarrus 是同一批数的不同分组：

$$\det A = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 10 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 10 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 2 + 4 - 9 = -3.$$

$4 \times 4$ 的例子：第二行只有一个非零元 $3$，展开一次就降成三阶，

$$B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}, \qquad \det B = 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 3 \cdot 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 3 \cdot 5 \cdot 8 = 120.$$

（第二次沿第三行展开，第三次直接用 $2 \times 2$ 公式.）

展开定理的证明思路

把第 $i$ 行写成 $a_{i1}\mathbf{e}_1 + \cdots + a_{in}\mathbf{e}_n$（$\mathbf{e}_j$ 表示第 $j$ 个位置为 1 的行向量），用多重线性把行列式拆成 $n$ 项. 每一项提出系数 $a_{ij}$ 后，剩下的是"第 $i$ 行只有第 $j$ 个位置是 1"的行列式：把第 $i$ 行交换到第一行（$i-1$ 次交换）、第 $j$ 列交换到第一列（$j-1$ 次交换），合计给出符号 $(-1)^{i+j}$，剩下的就是余子式 $M_{ij}$. $\blacksquare$

消元法（推荐，任意大小都能用）

这是机器和手算都通用的方法，靠的是初等变换表.

算法（高斯消元算行列式）

1. 用倍加操作（某行加另一行的倍数）把矩阵消成上三角；当前列的对角位置为零时，与下面某一行交换（交换要记一次变号），使那个位置非零；
2. 一旦出现全零行，立刻停手：$\det = 0$；
3. 化成上三角后，$\det = (-1)^{\text{交换次数}} \times$ 对角线之积.

还是那个 $3 \times 3$：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 7 & 8 & 10 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 7R_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -11 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

全程没有交换，$\det A = 1 \cdot (-3) \cdot 1 = -3$，与 Sarrus、展开两种算法一致.

几何直觉. 消元法能算体积，靠的正是三条公理的几何内容：倍加是"把平行体推斜"（剪切，体积不变），交换是"翻面"（体积不变、符号翻转），把一个方向拉伸若干倍则体积按同倍数缩放. 消元全程只是在记账，体积的绝对值不会被改掉.

两条路的成本. 展开法每降一阶要算 $n$ 个 $(n-1)$ 阶行列式，总量按 $n!$ 增长；消元法是 $O(n^3)$：$n = 20$ 时前者已经没救，后者机器瞬间完成. 数值软件用的是 LU 分解——它是消元法的矩阵写法 $A = LU$（$L$ 下三角、对角元为 1），于是 $\det A = \det U =$ 上三角对角线之积，细节留到矩阵分析.

乘积与转置

命题（乘法性） $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.

证明

固定 $A$，把 $B$ 的列记作 $\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n$，考察函数 $F(\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n) := \det(AB)$.

• $AB$ 的列是 $A\mathbf{b}_1, \dots, A\mathbf{b}_n$，每个都在 $\mathbf{b}_j$ 里线性出现，所以 $F$ 多重线性；
• 交换 $B$ 的两列，$AB$ 的两列也交换，$F$ 变号；
• $B = I$ 时 $F = \det A$.

也就是说：$F$ 满足公理 (i)(ii)，而满足 (i)(ii) 的函数与行列式只差一个常数倍（唯一性证明里"归一化"只决定这个倍数），这个倍数由 $B = I$ 的值 $\det A$ 定出，故 $F = \det A \cdot \det$. $\blacksquare$

命题（转置不变） $\det A^{\mathsf{T}} = \det A$.

证明. 看 Leibniz 公式：$\det A^{\mathsf{T}} = \sum_\sigma \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}$（把 $A^{\mathsf{T}}$ 的元素用 $a$ 写出来），这正是 $\det A$ 的求和式，只是项的排列顺序不同. $\blacksquare$

几何解释：列向量张成的平行体与行向量张成的平行体体积相同——转置不改变"膨胀率".

可逆等价于行列式不为零

两边的证明现在都是几行.

（$\Rightarrow$） 若 $A$ 可逆，则 $A A^{-1} = I$，两边取行列式：由乘法性

$$1 = \det I = \det(A A^{-1}) = \det A \cdot \det(A^{-1}),$$

所以 $\det A \ne 0$，而且 $\det(A^{-1}) = 1 / \det A$.

（$\Leftarrow$） 设 $\det A \ne 0$. 要证 $A$ 可逆，也就是"无论右端 $\mathbf{b}$ 是什么，$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 都能唯一地解出来".

先看消元之后的样子. 用倍加操作把 $A$ 化成行阶梯形 $U$（倍加不改变行列式，交换至多变号），于是 $\det U = \pm \det A \ne 0$. 行阶梯形的行列式是对角线之积，所以 $U$ 的对角元全不为零、没有零行.

三角形系统总能倒着解. 解 $U\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 时从最后一行往上回代. 拿本章的 $3 \times 3$ 例子，消元后

$$U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},$$

从下往上逐行读出来就是

$$x_3 = b_3, \qquad x_2 = -\frac{b_2 + 6b_3}{3}, \qquad x_1 = b_1 - 2x_2 - 3x_3.$$

每一步除的都是非零对角元，所以随便给一个 $\mathbf{b}$，都能老老实实从下往上算出唯一的 $\mathbf{x}$——这就是"$U$ 可逆".

回到 $A$. 消元用到的每一步（倍加、交换）都能原样撤销：加了多少减回去，换过再换回来. 于是 $A$ 等于"一串可逆操作"乘 $U$；可逆乘可逆仍可逆，所以 $U$ 可逆就推出 $A$ 可逆.

反过来，若 $\det A = 0$：由公理推出的性质，$A$ 的列向量线性相关，它们张不成整个 $\mathbb{R}^n$，映射不可能是双射，不可逆.

至此，"可逆 $\iff \det \ne 0$"在任意 $n$ 上都证完了，第一章的欠账结清.

几何总结. 可逆性现在有了一个体积读数：$\det A \ne 0$ 等价于"没有任何方向被压扁". 压扁意味着不同的输入落进同一个输出（体积为零，信息丢失，倒不回去）；不压扁则体积倍率非零，可以按 $1/\det A$ 的比例把输出倒推回唯一的输入. "被压扁的方向"与"能到达的方向"是下一章的主角——它们会被分别收进两个子空间.

实验：把三条公理拖出来

实验里两列 $\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2$ 可以拖，平行四边形实时重画：绿色表示逆时针（正定向），红色表示顺时针（负定向），共线时面积为零.

1. 点「c₁ ← c₁ + c₂」：剪切，面积不变——公理 (i) 的直接体现.
2. 点「交换两列」：面积不变、符号翻转、颜色从绿变红——公理 (ii).
3. 点「c₁ ← 2c₁」：面积翻倍、det 翻倍——多重线性.
4. 点「共线」：面积塌成零，"不可逆"三个字在几何上就是"压扁".

实验 07

行列式的三条公理

det2.00

面积2.00

定向逆时针

状态可逆

操作

绿色 = 逆时针（正定向）， det 的绝对值是面积，符号是定向.

三个操作对应三条公理：每一列伸缩会把 det 同倍伸缩（多重线性）；交换两列让 det 变号（交错性）； 单位矩阵的 det 是 1（归一化）. 拖动 c₁、c₂ 可以任意改这两列.

习题

1. 计算：$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{bmatrix}$，用 Sarrus 法则.
2. 用公理证明：上三角矩阵的行列式等于对角线之积.
3. 判断并给反例：$\det(A + B) = \det A + \det B$ 恒成立吗？
4. 设 $\det A = 3$、$\det B = -2$，且都是 $3 \times 3$ 矩阵. 求 $\det(AB)$、$\det(2A)$、$\det(A^{\mathsf{T}})$、$\det(A^{-1})$.
5. 矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ 把单位正方形映成什么图形？面积多大？若某个矩阵的 $\det = -5$，几何上发生了什么？
6. 用公理证明：若两列相同，则 $\det = 0$；再说明"某列是其他列的线性组合"为什么也让 $\det = 0$.
7. 判断：$\det = 0$ 的矩阵一定有一行是另一行的倍数吗？用 $3 \times 3$ 的反例说明.
8. （经典梗题）存在"三行四列的行列式"吗？为什么？那 $n$ 行 $n$ 列以外的一切矩阵，体积该怎么谈？
9. 用消元法计算 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$，指出"交换"与"全零行"分别出现在哪一步.

参考答案

1. $aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh = 1 \cdot 5 \cdot 10 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 - 3 \cdot 5 \cdot 7 - 2 \cdot 4 \cdot 10 - 1 \cdot 6 \cdot 8 = 50 + 84 + 96 - 105 - 80 - 48 = -3$.

2. 设上三角阵 $A$，对角线元 $a_{11}, \dots, a_{nn}$. 若某个对角元为零，用倍加把该列上方的元素消成零后，这一列全是零，$\det = 0 =$ 对角线之积；若都不为零，用倍加把它化成对角矩阵（倍加不变行列式），再用多重线性从每列提出 $a_{jj}$，剩下单位矩阵的 $\det = 1$，故 $\det A = a_{11}\cdots a_{nn}$.

3. 不恒成立. 反例：$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$、$B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$\det A = \det B = 0$，但 $A + B = I$，$\det(A+B) = 1 \ne 0 + 0$. 行列式对每一列线性，但矩阵相加会同时动所有列，不是单列操作.

4. $\det(AB) = 3 \cdot (-2) = -6$；$\det(2A) = 2^3 \det A = 24$（每一列都乘 2，共提三次）；$\det(A^{\mathsf{T}}) = 3$；$\det(A^{-1}) = 1/3$.

5. 映成平行四边形，面积 $|\det A| = |2 \cdot 3 - 1 \cdot 1| = 5$. $\det = -5$ 表示面积仍是 5，但定向翻转了（平面被镜像，比如两列交换了次序）.

6. 见正文：交换两列不变对象、变号，$D = -D$ 故 $D = 0$；线性组合情形用多重线性拆开后，每一项都有两列相同.

7. 不一定. 反例：三行分别是 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(1,1,0)$，没有任何一行是另一行的倍数，但第三行是前两行之和，行向量线性相关，$\det = 0$.

8. 不存在. 行列式只对方阵定义，这不是约定，是几何与公理逼出来的：

• 几何上：$3 \times 4$ 矩阵把 $\mathbb{R}^4$ 送到 $\mathbb{R}^3$. 单位 $4$ 维立方体在 $A$ 下的像是一个 $4$ 维的东西被塞进 $3$ 维空间——必然"塌掉"；而 $A$ 的 $4$ 个列向量在 $\mathbb{R}^3$ 里必然线性相关（第二章的定理），张成的体积本来就是零. 想谈"膨胀率"，得让定义域与到达空间维数相同.
• 公理上：行列式的归一化要求 $D(\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n) = 1$，需要 $n$ 个列对应 $n$ 个标准基向量；$m \ne n$ 时凑不出这个"单位"，存在性与唯一性都无从建立.

所以看到"三行四列的行列式"可以直接判死刑. 非方阵也有常被拿来类比的量：列向量张成的体积等于 $\sqrt{\det(A^{\mathsf{T}}A)}$——但那是对 $n \times n$ 的 $A^{\mathsf{T}}A$ 取行列式，不是对 $A$ 本身.

9. 第一步交换 $R_1 \leftrightarrow R_2$（出现交换，记一次变号）：

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -3 & -6 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

第三步 $R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2$ 之后出现全零行，停手：$\det A = 0$. 交换次数不用再管——零行直接判 0，矩阵不可逆.

交叉

• 矩阵分析：行列式是特征值之积（下一章证明），也是相似不变量的来源；QR 分解把 $\det$ 写成对角元之积.
• 机器学习：概率密度换变量时要乘 Jacobian 的行列式；扩散模型的前向过程用 $\sqrt{\det \Sigma}$ 一类的量描述高斯体积.
• 数值计算：$\det$ 的大小反映矩阵的病态程度，条件数与奇异值联系起来看更准确.

延伸

下一章《四个基本子空间》会把这一章的结果组织成一张图：列空间、零空间、行空间、左零空间，并在那里定义主元与秩、证明秩-零化度定理. 到那时，"可逆"、"$\det \ne 0$"与"四个子空间之间的关系"会合成同一句话.