四个基本子空间

前五章攒了一桌零件：空间与基（第 2 章）、线性映射与矩阵（第 3 章）、内积与正交（第 4 章）、行列式（第 5 章）.这一章把它们拼成一张图.

图的中心是一个矩阵：它管着两个空间——输入 $\mathbb{R}^n$ 与输出 $\mathbb{R}^m$，并把两边各切成互相垂直的两块. 关于方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的所有问题，"有没有解、有多少解、解长什么样"，答案都在这张图上.

高中那点工具，够用到哪里

除了第 1 章复习过的消元，高中还给了这一章一件关键道具——法向量：

• 选必一 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系：直线的方向向量、平面的法向量；直线 $Ax + By + C = 0$ 的系数 $(A, B)$ 就是一个法向量.
• 选必一 1.2 空间向量基本定理（共面定理）：三个向量共面当且仅当其中一个能由另外两个线性表示——"共面"就是"线性相关"的几何版.

一个高中事实，本章读法. 直线 $x + 2y = 3$ 的法向量是 $(1,2)$，方向向量可以取 $(2,-1)$——两者点积为零：

$$(1,2)\cdot(2,-1) = 0.$$

用本章的语言：方向向量（解的自由方向）与法向量（方程的系数行）正交. 一条直线的解空间是"与法向量正交的方向"；两条直线联立，就是"同时与两个法向量正交的方向". 第 6 章把这句话推广成"零空间 = 行空间的正交补"——高中那句"方向向量 ⊥ 法向量"，就是它的二维特例.

阶梯形与主元

定义（行阶梯形） 一个矩阵若满足下面两条，就叫行阶梯形： (i) 每个非零行的第一个非零元素，出现在上一行第一个非零元素的右边； (ii) 全零行排在最下面. 那个"第一个非零元素"叫这一行的主元. 如果进一步满足：每个主元都是 $1$，且主元所在列的其他元素都是 $0$，就叫简化行阶梯形（reduced row echelon form，RREF）.

拿一个矩阵走一遍（做法就是第 3 章的高斯-约当消元：倍加消元、主元归一，必要时交换两行）：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \;\longrightarrow\; \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

右边就是 $A$ 的 RREF：两个主元，分别在第 1、2 列.

再看一个宽一点的例子，注意主元可以"跳着"出现：

$$B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \end{bmatrix} \;\longrightarrow\; \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

主元在第 1、3 列；第 2 列没有主元，因为它就是第 1 列的 $2$ 倍——"没有主元"和"能被前面的列拼出来"是同一件事.

前几列的"张成"与主元的关系. 把列依次记为 $\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n$，看前 $k$ 列张成的子空间

$$V_k = \operatorname{span}\{\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_k\}.$$

这一串子空间只会变大或原地不动：$V_1 \subseteq V_2 \subseteq \cdots \subseteq V_n$. 而"变大"的时刻精确对应主元：

• 第 $j$ 列是主元列 $\iff$ $\mathbf{a}_j$ 不能由前面的列拼出来 $\iff$ $V_j$ 比 $V_{j-1}$ 严格大（维数加一）；
• 第 $j$ 列没有主元 $\iff$ $\mathbf{a}_j$ 是前面各列的线性组合 $\iff$ $V_j = V_{j-1}$（张成没变化）.

换句话说：主元标记的正是"张成扩张的那一刻"，主元的个数就是整组列最终张成的维数.

拿上面两个例子核对：

• $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \end{bmatrix}$：$\mathbf{a}_2 = 2\mathbf{a}_1$，所以 $V_2 = V_1$（第 2 列没有主元）；而 $\mathbf{a}_3$ 不在 $V_1$ 里，$V_3$ 严格变大（第 3 列有主元）. 两个主元，最后张成的是整个 $\mathbb{R}^2$.
• $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$：$\mathbf{a}_2$ 不是 $\mathbf{a}_1$ 的倍数（$2\mathbf{a}_1 = (2,4,2) \ne (2,4,1)$），所以第 2 列有主元；而 $\mathbf{a}_3 = -\mathbf{a}_1 + 2\mathbf{a}_2$，所以第 3 列没有主元. 留意 RREF 里第 3 列写的正是 $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$——那条组合的系数原封不动地记在那里.

这还解释了为什么能从 RREF 读出列之间的线性关系：行变换是可逆的，不会破坏"某列能不能由前面列拼出来"这个事实，所以主元的位置与组合的系数都被原样保留下来.

命题（RREF 唯一） 任何矩阵经初等行变换化成的简化行阶梯形是唯一的.

为什么唯一（概述）

行变换是可逆的，所以它保持列与列之间的线性关系：$\sum_j c_j \cdot \text{列}_j = \mathbf{0}$ 在变换前后同真同假.

• 主元列的位置唯一. 在 RREF 里，第 $j$ 列是主元列，当且仅当它不能由左边的列线性表出：主元列是某个 $\mathbf{e}_k$，而左边的每一列在第 $k$ 个位置上都是 $0$，拼不出 $\mathbf{e}_k$；反过来，不能表出的列必然引入一个新主元. "能不能表出"只涉及列之间的线性关系，而行变换不改变它——所以主元列的位置由矩阵本身决定，与消元步骤无关.
• 非主元列的内容唯一. 每个非主元列都是左边各列的一个线性组合，而这个组合方式由列关系唯一确定. 主元列本身全是标准基向量，没有自由度.

于是整个 RREF 被唯一确定. $\blacksquare$

秩

定义（秩） 矩阵的秩等于它的 RREF 里主元的个数，也等于非零行的个数，记作 $\operatorname{rank} A$ 或 $r$.

由 RREF 的唯一性，秩是良定义的：不管怎么消元，数出来的主元一样多. 秩是"矩阵真正携带的独立信息量"——被消掉的东西都是前面内容的重复.

例子（一眼可判的秩）.

• 零矩阵的秩是 $0$（一个主元都没有）；单位矩阵的秩是 $n$（每列都是主元）；
• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ 的秩是 $1$：第二列是第一列的 $2$ 倍，消完只剩一个主元；
• 全 $1$ 的 $3 \times 3$ 矩阵秩是 $1$（三行一模一样）；
• "元素都非零"离满秩差得远：$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$ 的秩还是 $1$.

例题（教材风格）. 判断下列两条直线的位置关系：(1) $l_1: x + y = 2$ 与 $l_2: 2x + 2y = 4$；(2) $l_1: x + y = 2$ 与 $l_2: 2x + 2y = 5$.

解（高中）. (1) 第二式除以 2 后与第一式完全相同，两直线重合；(2) 第二式除以 2 得 $x + y = 2.5$，与第一式矛盾，两直线平行.

线代读法. 把方程组写成增广矩阵消元：两问的系数矩阵秩都是 1（两行成比例）；区别在增广矩阵——(1) 的右端同比例，增广矩阵秩也是 1；(2) 的右端不成比例，增广矩阵秩是 2. 于是

• 相交：$\operatorname{rank} A = \operatorname{rank}[A \mid \mathbf{b}] = 2$；
• 重合：$\operatorname{rank} A = \operatorname{rank}[A \mid \mathbf{b}] = 1$；
• 平行：$\operatorname{rank} A = 1 < \operatorname{rank}[A \mid \mathbf{b}] = 2$.

高中"看两条直线的位置关系"，就是本章"比较两个秩"的最简版本——下一节把这件事推广到任意多个方程、任意多个未知数.

四个基本子空间

定义 对 $m \times n$ 矩阵 $A$，定义四个子空间：

• 列空间 $C(A) = \{A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\} \subseteq \mathbb{R}^m$：所有可能的输出；
• 零空间 $N(A) = \{\mathbf{x} \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0}\} \subseteq \mathbb{R}^n$：被压成零的输入；
• 行空间 $C(A^{\mathsf{T}}) \subseteq \mathbb{R}^n$：$A$ 的行的全部线性组合；
• 左零空间 $N(A^{\mathsf{T}}) = \{\mathbf{y} \mid \mathbf{y}^{\mathsf{T}}A = \mathbf{0}\} \subseteq \mathbb{R}^m$.

四个都是子空间（对加法与数乘封闭，验证都是一行）. 接下来把它们的维数与基一次性算清楚，工具就是 RREF.

几何直觉（把 $A$ 想成一台机器）. $A$ 对输入做的事可以拆成两半：

• 行空间那一半：$A$ 不丢信息——它把行空间旋转加拉伸后原样搬到列空间，$r$ 维对 $r$ 维，一一对应；
• 零空间那一半：整个被压成零点，信息全丢.

秩 $r$ 是"$A$ 保留了几维"，$n - r$ 是"丢了几维"；输出那边，列空间是"能够到的区域"，左零空间是"永远够不着的方向".

列空间：主元列构成一组基. 在 RREF 里，主元列是 $\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_r$，显然线性无关；其余列都是主元列的线性组合，而且这个组合关系在行变换前后不变. 所以 $A$ 的主元列张成列空间且线性无关——是一组基：

$$\dim C(A) = r.$$

行空间：非零行构成一组基. 行变换不改变行空间（每一步都是把一行换成它与其他行的组合，旧行空间与新行空间互相包含）. 所以 $A$ 的行空间等于 RREF 的行空间，而后者的基就是那 $r$ 个非零行：

$$\dim C(A^{\mathsf{T}}) = r.$$

$\mathbb{R}^m$ 里的列空间与 $\mathbb{R}^n$ 里的行空间，维数都是 $r$——这就是"行秩等于列秩". 顺带得到转置的一条好性质：$A^{\mathsf{T}}$ 的列空间就是 $A$ 的行空间，所以

$$\operatorname{rank}(A^{\mathsf{T}}) = \operatorname{rank}(A).$$

零空间：数自由变量. 解 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 就是解它的 RREF：主元变量由自由变量表出. 有 $r$ 个主元变量、$n - r$ 个自由变量，每个自由变量取 $1$、其余自由变量取 $0$，就得到一个基向量：

$$\dim N(A) = n - r.$$

拿上面的例子：RREF 是 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，前两列是主元列，$x_3$ 自由；$x_3 = 1$ 时 $x_1 = 1$、$x_2 = -2$，零空间的一组基是 $(1, -2, 1)$.

左零空间：把上面的结论用到 $A^{\mathsf{T}}$. 左零空间就是 $A^{\mathsf{T}}$ 的零空间，所以

$$\dim N(A^{\mathsf{T}}) = m - \operatorname{rank}(A^{\mathsf{T}}) = m - r.$$

两个维数等式于是配平了两边的空间：

$$\underbrace{r}_{\text{行空间}} + \underbrace{(n - r)}_{\text{零空间}} = n, \qquad \underbrace{r}_{\text{列空间}} + \underbrace{(m - r)}_{\text{左零空间}} = m.$$

例子（把本章的例子一次列全）. 对 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$：

子空间	一组基	维数	住在哪
列空间 $C(A)$	$(1,2,1)$、$(2,4,1)$（主元列）	$2$	$\mathbb{R}^3$
零空间 $N(A)$	$(1,-2,1)$	$1$	$\mathbb{R}^3$
行空间 $C(A^{\mathsf{T}})$	$(1,0,-1)$、$(0,1,2)$（RREF 非零行）	$2$	$\mathbb{R}^3$
左零空间 $N(A^{\mathsf{T}})$	$(-2,1,0)$	$1$	$\mathbb{R}^3$

顺手验证两组正交配对：$\langle (1,-2,1), (1,0,-1) \rangle = 0$、$\langle (1,-2,1), (0,1,2) \rangle = 0$；$\langle (1,2,1), (-2,1,0) \rangle = 0$、$\langle (2,4,1), (-2,1,0) \rangle = 0$. 两侧的维数也确实配平：$2+1=3$.

几何直觉（两个极端例子）.

• $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$（秩 $1$）：整个平面被压到直线 $y = 2x$ 上. 行空间是 $\operatorname{span}\{(1,2)\}$，零空间是 $\operatorname{span}\{(-2,1)\}$——两条直线互相垂直（内积 $1\cdot(-2) + 2\cdot 1 = 0$）；$A$ 把行空间的方向拉伸 $5$ 倍搬到同一条线上：$A(1,2) = (5, 10)$.
• $A = \operatorname{diag}(1, 0)$：四个子空间就是两条坐标轴——列空间与行空间都是 $x$ 轴，零空间与左零空间都是 $y$ 轴. 这是能画出来的最干净的一张图.

正交补与直和

第 4 章把转置解释成"把矩阵搬到内积的另一边"：$\langle A\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, A^{\mathsf{T}}\mathbf{y} \rangle$. 在用这句话之前，先把两个空间术语定义清楚.

定义（正交补） 设 $U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间. 与 $U$ 中每个向量都正交的向量全体

$$U^{\perp} = \{\mathbf{v} \mid \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle = 0 \text{ 对一切 } \mathbf{u} \in U\}$$

叫 $U$ 的正交补.

维数是配平的：$\dim U + \dim U^{\perp} = n$. 取 $U$ 的一组标准正交基（Gram–Schmidt 保证存在），补成整个 $\mathbb{R}^n$ 的标准正交基；一个向量与 $U$ 正交，当且仅当它在前 $k$ 个基向量上的系数全为零，所以 $U^{\perp}$ 恰好由补出来的 $n - k$ 个基向量张成，维数 $n - k$.

定义（直和） 设 $U, W$ 是 $V$ 的子空间（$U + W$ 表示全体 $\mathbf{u} + \mathbf{w}$ 组成的集合）. 若每个 $\mathbf{v} \in V$ 都能唯一地写成

$$\mathbf{v} = \mathbf{u} + \mathbf{w}, \qquad \mathbf{u} \in U,\ \mathbf{w} \in W,$$

就称 $V$ 是 $U$ 与 $W$ 的直和，记作 $V = U \oplus W$. 若再加上"每个 $\mathbf{u} \in U$ 与每个 $\mathbf{w} \in W$ 正交"，就叫正交直和.

把"写得出来"与"写得唯一"拆开看：写得出来就是 $U + W = V$；写得唯一等价于 $U \cap W = \{\mathbf{0}\}$——有两个不同表示时，相减得到同时落在 $U$ 与 $W$ 里的非零向量；反过来，公共非零向量 $\mathbf{x}$ 会让 $\mathbf{0}$ 有两个表示（$\mathbf{0}$ 与 $\mathbf{x} + (-\mathbf{x})$）. 正交直和是直和里最规整的一种：两块互相垂直，互不干扰.

命题 $N(A) \perp C(A^{\mathsf{T}})$，而且 $N(A)^{\perp} = C(A^{\mathsf{T}})$；对称地，$N(A^{\mathsf{T}}) \perp C(A)$，且 $N(A^{\mathsf{T}})^{\perp} = C(A)$.

证明. 取 $\mathbf{x} \in N(A)$、$\mathbf{y} \in C(A^{\mathsf{T}})$，则 $\mathbf{y} = A^{\mathsf{T}}\mathbf{z}$，于是

$$\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, A^{\mathsf{T}}\mathbf{z} \rangle = \langle A\mathbf{x}, \mathbf{z} \rangle = \langle \mathbf{0}, \mathbf{z} \rangle = 0.$$

中间一步用的正是转置的伴随性质. 维数上，$\dim N(A) + \dim C(A^{\mathsf{T}}) = (n - r) + r = n$；在 $n$ 维空间里，一个子空间的正交补维数恰好是 $n$ 减去它自己的维数，两者维数相加为 $n$ 时它们互为正交补，所以 $N(A)^{\perp} = C(A^{\mathsf{T}})$. 另一侧同理. $\blacksquare$

定理（线性代数基本定理） $\mathbb{R}^n$ 是行空间与零空间的正交直和，$\mathbb{R}^m$ 是列空间与左零空间的正交直和：

$$\mathbb{R}^n = C(A^{\mathsf{T}}) \oplus N(A), \qquad \mathbb{R}^m = C(A) \oplus N(A^{\mathsf{T}}).$$

换成坐标的话：每个输入向量都能唯一地拆成"行空间分量 + 零空间分量"，两块互相垂直；每个输出向量同理拆成"列空间分量 + 左零空间分量".

人话版：输入空间被切成"有用的部分"（行空间）和"被浪费掉的部分"（零空间），两块互相垂直；输出空间同样被切成"能到达的部分"（列空间）和"永远够不着的方向"（左零空间）.

几何直觉（勾股定理）. 正交直和就是勾股定理：任取 $\mathbf{v}$，把它拆成行空间分量与零空间分量，两块垂直，于是

$$|\mathbf{v}|^2 = |\mathbf{v}_{\text{行}}|^2 + |\mathbf{v}_{\text{零}}|^2.$$

拿 $A = \operatorname{diag}(1,0)$、$\mathbf{v} = (3,4)$ 验证：行空间分量是 $(3,0)$，零空间分量是 $(0,4)$，$3^2 + 4^2 = 5^2$.

回到方程 Ax = b

有了图，第 1 章的老问题一句话就能回答.

• 有没有解：$\mathbf{b} \in C(A)$，等价地，$\mathbf{b} \perp N(A^{\mathsf{T}})$——只要 $\mathbf{b}$ 与每个"左零向量"正交，方程就有解；只要找到一个左零向量与 $\mathbf{b}$ 内积不为零，就无解.
• 有多少解：有解时，通解 = 一个特解 + 零空间的任意向量（两个解之差必落在零空间）. 唯一 $\iff N(A) = \{\mathbf{0}\} \iff r = n$.
• 对方阵，"每个 $\mathbf{b}$ 都有唯一解" $\iff r = n$：这就是第 5 章的"可逆 $\iff \det \ne 0$"，现在换成了秩的语言.

例子（用上面的矩阵试两个右端）. 还是 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$，左零空间由 $(-2,1,0)$ 张成，所以可解的 $\mathbf{b} = (b_1,b_2,b_3)$ 必须满足

$$-2b_1 + b_2 = 0.$$

• $\mathbf{b} = (1,2,3)$：$-2+2=0$，有解. 试出特解 $(5,-2,0)$（验证：$A(5,-2,0) = 5(1,2,1) - 2(2,4,1) = (1,2,3)$），加上零空间方向得通解 $(5,-2,0) + t(1,-2,1)$——一条直线上的无穷多组解.
• $\mathbf{b} = (1,3,3)$：$-2+3=1 \ne 0$，无解——用一个左零向量点一下就能判死刑.

几何直觉. $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 问的是"$\mathbf{b}$ 在不在列空间里". 不在的时候，能做的最好的事是把 $\mathbf{b}$ 正交投影到列空间上——投影点是列空间里离 $\mathbf{b}$ 最近的目标（第 4 章的"最佳逼近"），这就是最小二乘的几何图景.

实验：点格子看秩

实验里的矩阵可以直接点着改（数值循环 $0 \to 1 \to 2 \to -1$），右边同步给出 RREF、主元框和四个维数.

1. 默认矩阵秩 2：橙色是主元列，零空间基里能看到 $(1, -2, 1)$.
2. 点「满秩」：零空间只剩零向量，$n$ 侧配平条被行空间占满.
3. 点「宽矩阵」「高矩阵」：注意两边的配平不一样——$m < n$ 时左零空间维数恰好是 $m - r$.
4. 点某个格子改一个数，看秩什么时候掉 1，四个维数一起动.

实验 08

四个基本子空间

秩2

零空间1

左零空间1

矩阵3×3

预设点矩阵格子改数值（循环 0 → 1 → 2 → −1）

A（高亮列 = 主元列）

简化行阶梯形 R（框 = 主元）

10-1012000

输入空间 R³（n = 3）

行空间 2零空间 1

输出空间 R³（m = 3）

列空间 2左零空间 1

零空间的一组基 (1, -2, 1)

秩 = 主元个数 = 2：列空间与行空间的维数都是 2，零空间维数是 n − 秩 = 1， 左零空间维数是 m − 秩 = 1. 左右两侧的维数各自配平：2 + 1 = 3， 2 + 1 = 3.

图的读法：橙色列是主元列，它们构成列空间的基；简化阶梯形的非零行构成行空间的基； 零空间是 Ax = 0 的全部解；左零空间是满足 yᵀA = 0 的 y. 行空间与零空间在 Rⁿ 里互相正交， 列空间与左零空间在 R^m 里互相正交（性由内积验证）.

习题

1. 对 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$：写出 RREF、秩、四个子空间的维数，并给出零空间与左零空间的一组基.
2. 对 $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$：求秩、零空间与左零空间的维数，并给出左零空间的基.
3. 用左零空间判据判断 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$、$\mathbf{b} = (3, 6)$ 与 $\mathbf{b} = (3, 7)$ 分别有没有解.
4. 证明：$\mathbf{x} \in N(A)$ 与 $\mathbf{y} \in C(A^{\mathsf{T}})$ 一定正交（用转置的伴随性质）.
5. 证明：$\operatorname{rank}(A^{\mathsf{T}}) = \operatorname{rank}(A)$（提示：$A^{\mathsf{T}}$ 的列空间就是 $A$ 的行空间）.
6. 概念题："秩 = 主元个数 = 线性无关列的个数 = 线性无关行的个数"——这些说法都对吗？请解释行秩为什么等于列秩.
7. 综合题：用 $r$、$m$、$n$ 的语言重写"唯一解、无解、无穷多解"三种结局，并说明方阵情形为什么退化成第 5 章的"可逆 $\iff \det \ne 0$".

参考答案

1. RREF 是 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，$r = 2$. $\dim C(A) = 2$，基取主元列 $(1,2,1)$、$(2,4,1)$；$\dim C(A^{\mathsf{T}}) = 2$，基取 RREF 的非零行 $(1,0,-1)$、$(0,1,2)$；$\dim N(A) = 1$，基 $(1,-2,1)$；$\dim N(A^{\mathsf{T}}) = 3 - 2 = 1$，由 $A^{\mathsf{T}}\mathbf{y} = \mathbf{0}$ 解得基 $(-2, 1, 0)$.

2. 消元得 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$，$r = 2$；两列线性无关，零空间只有零向量（维数 $0$）；左零空间维数 $m - r = 1$，解 $\mathbf{y}^{\mathsf{T}}B = \mathbf{0}$ 得基 $(1, -2, 1)$：验证 $1\cdot(1,2) - 2\cdot(3,4) + 1\cdot(5,6) = (0,0)$.

3. $A$ 的左零空间是 $\operatorname{span}\{(-2, 1)\}$（解 $y_1 + 2y_2 = 0$-系的方程）. $\langle (3,6), (-2,1) \rangle = 0$，所以 $(3,6)$ 有解（而且有无穷多组，因为零空间非平凡）；$\langle (3,7), (-2,1) \rangle = 1 \ne 0$，所以 $(3,7)$ 无解.

4. 见正文：$\mathbf{y} = A^{\mathsf{T}}\mathbf{z}$，$\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, A^{\mathsf{T}}\mathbf{z} \rangle = \langle A\mathbf{x}, \mathbf{z} \rangle = 0$.

5. 由正文：$C(A^{\mathsf{T}})$ 是 $A$ 的行空间，所以 $\operatorname{rank}(A^{\mathsf{T}}) = \dim C(A^{\mathsf{T}}) = r = \operatorname{rank}(A)$.

6. 都对，四个数说的是同一件事. 行秩 = 列秩的解释：RREF 有 $r$ 个非零行，它们构成行空间的基（行秩 $= r$）；RREF 的 $r$ 个主元列对应 $A$ 的 $r$ 个线性无关列，它们构成列空间的基（列秩 $= r$）. 同一个 $r$，所以相等.

7. 有解 $\iff \mathbf{b} \in C(A)$；有解时解唯一 $\iff N(A) = \{\mathbf{0}\} \iff r = n$，否则有解就有无穷多解. 无解的情况出现在 $\mathbf{b} \notin C(A)$，只要 $r < m$ 就可能发生. 方阵 $n = m$ 时："对每个 $\mathbf{b}$ 唯一可解" $\iff r = n$ $\iff$ 列满秩 $\iff \det \ne 0$，正是第 5 章的结论.

交叉

• 机器学习：数据矩阵的列空间是"特征的张成"，秩告诉你有多少信息是冗余的；LoRA 之类的低秩微调，本质是把权重增量限制在一个低维子空间里.
• 矩阵分析：SVD 用两族正交基把四个子空间同时写清楚——前 $r$ 列张成列空间与行空间，后几列张成两个零空间；这是下一章的直接工具.
• 体系结构：数值消元时主元的选择顺序会影响计算量与误差（选主元、填充问题），稀疏矩阵求解器的核心工作就在这里.

延伸

下一章《特征值与对角化》会研究那些"被映射拉伸但不转向"的特殊向量. 有了四个子空间，第一件事就是把特征值 $0$ 的含义说清楚：$\lambda = 0$ 是特征值，当且仅当零空间非平凡——矩阵在某个方向上把空间压扁了.