前言：从结构到工程

《线性代数》把矩阵讲成了结构和空间；这一组接着往下，把它变成工程工具：怎么量"大小"（范数）、怎么把矩阵拆成好用的零件（LU、QR、Cholesky、SVD）、怎么知道算出来的结果可不可信（条件数）、怎么对矩阵求导（矩阵微积分），以及最小二乘的完整故事（广义逆）. 这些正是反向传播、SVD 压缩、GEMM 优化这些工程名词底下的数学.

你需要的前置

按《线性代数》的章节对一遍：

• 第 2 章（向量空间、基与维数）：线性无关、基、维数.
• 第 4 章（内积、正交与投影）：内积、标准正交基、正交矩阵——这一组每个分解都要用.
• 第 5、6 章（行列式、四个基本子空间）：奇异、秩、零空间、列空间.
• 第 7、8 章（特征值、谱定理、二次型）：特征值与对角化、实对称矩阵的正交对角化、正定——SVD 和条件数就是它们的推广.

微积分方面只需要高中导数的直觉（变化率、链式法则"一层层乘下去"）；矩阵微积分那一章会把"对向量求导"重新定义清楚，微积分单元里有更严格的版本.

不需要任何编程基础. 不过这一组的问题多半来自计算机——浮点误差、算法代价、迭代收敛——有程序经验会更有感觉，没有也完全跟得上.

会用到、但会现场补的

• 求和号 $\sum$、逻辑符号、集合记号：同《线性代数》前言，第一次出现时会展开写.
• 渐近记号 $O(\cdot)$：讲算法代价时用，会现场解释.
• 浮点误差的词汇（相对误差、机器精度）：第一次用到时讲清楚.

符号约定

全组统一，遇到新记号会先定义再使用.

向量与矩阵：沿用《线性代数》——向量粗体小写、矩阵大写字母、单位矩阵 $I$、转置 $A^{\mathsf{T}}$；内积记 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$，标准内积也写 $\mathbf{u}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}$.

范数：向量范数记 $\|\mathbf{x}\|$，带下标指具体类型（$\|\mathbf{x}\|_2$ 是欧氏长度，$\|\mathbf{x}\|_1$ 是分量绝对值之和，$\|\mathbf{x}\|_\infty$ 是最大分量）；矩阵范数 $\|A\|$ 默认指算子范数，第 1 章定义. 数量用绝对值 $|\cdot|$、向量矩阵用 $\|\cdot\|$，两者不混.

分解：$A = LU$（下三角乘上三角）、$A = QR$（正交乘上三角）、$A = U\Sigma V^{\mathsf{T}}$（SVD）；奇异值记 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \cdots \ge 0$.

条件数与广义逆：条件数记 $\kappa(A)$，广义逆记 $A^+$.

微积分：梯度记 $\nabla f$，雅可比矩阵记 $J$，Hessian 沿用第 8 章的叫法.

标点：句号一律用半角英文句点——写 这样.，不写 这样。；其余标点（逗号、分号、冒号、问号）用全角. 与全站一致，看到"哪里.这"连着写不是排版事故.

怎么读

• 每章结构固定：动机 → 定义与例子 → 可拖动的实验 → 习题（答案折叠）. 定义先于使用，证明能折叠就折叠.
• 这一组和《线性代数》的气质不同：那边问"是什么结构"，这边问"怎么算、算得多准、代价多大". 你会看到更多数字、误差和算法步骤——它们不是装饰，是内容本身.
• 实验是动手环节，至少要拖一遍.
• 哪段读不懂，别硬盯定义——找两三个具体的数代进去，把式子手算一遍.